by

Bevis av faktorsatsen (tekijälauseen todistaminen)

Svar på frågan : “Hur kan vi veta att faktorsatsen gäller ?”

( Något som introduceras i kurs MAA2 Polynom, funktioner, ekvationer och analys ).

Enligt faktorsatsen är (x-a) en faktor  i polynomet P(x) om och endast om

x=a är ett nollställe till P(x).

BEVIS : 

Om ekvationen

P(x)=a_n\cdot x^n+a_{n-1}\cdot x^{n-1}+ .. + a_1\cdot (x+ a_0)=0

har roten
x=a
gäller:

P(x)=P(x)-0=P(x)-P(a)= a_n\cdot (x^n-a^n)+a_n\cdot (x^{n-1}-a^{n-1})+ .. + a_1\cdot ( x -a)

vilket kan faktoriseras till

P(x)=a_{n}(x-a)Q_{n-1}(x)+a_{n-1}(x-a)Q_{n-2}(x)+ .. +a_2(x-a)Q_0(x)

P(x)=(x-a)\cdot [a_{n}Q_{n-1}(x)+a_{n-1}Q_{n-2}(x)+ .. +a_2Q_0(x)]

= (x-a) [ anQn-1(x) + an-1Qn-2(x) + .. + a2Q1(x) + a1Q0(x)]
förutsatt att (x-a) är faktor i  xk – ak <=> xk – ak = (x-a)Qk-1(x) för alla
positiva heltal k där 1 ≤ k ≤ n
dvs xk – ak är delbart med (x-a) och kvoten är ett polynom Qk-1(x) med resten r=0.
Vi hittar lätt tex med division av polynom eller prövning att:
x1 – a1 =  (x-a)1 = (x-a)Q0(x)
x2 – a2 =  (x-a)(x+a)  = (x-a)Q1(x)
x3 – a3 =

 x3 – ax2+ax2-a2x+a2x -a3

=(x-a)(x2 +ax+ a2)

 = (x-a)Q2(x)
x4 – a4 =   (x-a)(x3 + ax2 + a2x + a3)   =  (x-a)Q3(x)
Q0(x) = 1 = 1
Q1(x) = (x)(1)+a = xQ0(x)+a
Q2(x) = x(x+a)+a2 =   xQ1(x)+a2
Q3(x) =   x(x2 +ax+ a2)+a3       =   xQ2(x)+a3    
Qk(x) =  x(xk-1+ .. +ak-1)+ak  
 =  xQk-1(x)+ak
men om vi har ett polynom Q för vilket gäller
Qk(x) = xQk-1(x) + ak      ||           båda sidor multipliceras med (x-a)
(x-a)Qk(x) = x(x-a)Qk-1(x) + (x-a)ak   ||   xk – ak = (x-a)Qk-1(x) för k och därför fås
(x-a)Qk(x) = x(xk – ak) + (x-a)ak = xk+1 – xak + xak – ak+1 = xk+1  – ak+1
varav följer att (x-a) är faktor i xk+1  – ak+1
(x-a) är faktor till xk – ak för k=1,2,3,4 och för k+1 om det gäller för k.
Vi har alltså använt oss av ett induktionsbevis.
Således gäller för alla heltal k där 1 ≤ k ≤ n att  xk – ak = (x-a)Qk-1(x)
också att (x-a) är en faktor i P(x).
V.S.B
by

Styrlinjen är normal till symmetriaxeln, men var ligger parabelns brännpunkt ?

Här är några övningar på geogebra

Draw a parabola

Rita en parabel

http://www.geogebratube.org/student/m22299

Härledning av y=ax^2

Vi använder likformiga trianglar och en romb för att härleda en parabel.

Vi undersöker en romb som kan användas för att rita en parabel.

http://www.geogebratube.org/material/show/id/22296

Räkna ut brännpunktens position

styrlinje ( disektris) och brännpunkt

http://www.geogebratube.org/material/show/id/22295

by

Hur skall framtidens abiturienter preppas idag ?

Eftersom jag haft pedagogisk praktik har jag nyligen funderat över hur man skall undervisa i gymnasiet idag.  Antingen är man för pratsam och alla somnar eller så låter man eleverna räkna igenom själv och det tar för lång tid. Dessutom är det en utmaning att man har elever med olika motivation och kunskapsnivå i korta mattan.

Och så har vi symbolräknare och datorer för att inte tala om utrustningen i klassrummen med sina möjligheter och begränsningar.

Hur många gymnasie-elever känner igen dessa former idag ?

Paraboler kanske ?

Är detta kägelsnitt måntro ?

Är det alls nödvändigt längre att veta att de polynomekvationer man löser eller söker extremvärden för är parabler med styrlinje och brännpunkt ?  I ett koordinatsystem kan de ju riktas så att symmetriaxeln är parallell med y-axeln och de kan uttryckas som f(x)=ax2 + bx+c .   Både i gymnasiets korta och länga matematikkurs ingår fortfarande  lösning av första och andragradsekvationer och undersökning av polynomfunktioner inom ämnet matematisk analys.